今天为大家带来一个关于数学归纳法、博弈论的逻辑问题——红眼睛与蓝眼睛，本问题最早是澳大利亚华裔数学神童陶哲轩在博客上贴出来供大家思考玩乐的——但实际上，神童的玩乐对我们这种普通人来说就是烧脑……
话不多说，题目如下：
一个岛上有100个人，只有两种眼睛颜色，红眼睛和蓝眼睛，其中5个红眼睛，95个蓝眼睛。这个岛上有一些奇怪的规则：
岛上的人不能通过问别人或者照镜子等任何方式知道自己眼睛的颜色。
一旦有人知道了自己的眼睛颜色，就必须在当天中午自杀。
注意：岛民公认岛上人的眼睛颜色只可能有两种，但不知道数量
注意：岛民都具有绝对理性思维，且岛民绝对服从上述规则
之后的故事就比较有趣了，某个旅行者到了这个岛上，虽然知道了这里的规矩，却无意间说道：“能在这里看到和我一样眼睛颜色的人，真好！”，而这个旅行者，正是红眼睛。
旅行者觉得，反正这里有5个红眼睛的人，每个人都应该知道岛上有红眼睛啊？于是他不以为意，就离开了那个神秘的岛屿。
但是岛屿上的人全都相信了这个人的话，并且在第五天的中午，5个红眼睛的人全部自杀，而次日的中午，剩下的95个人也全部自杀了。
听上去有点恐怖是吗？胆小的人先自动把之前的“自杀”二字换成“当众飞翔”也许就能专心在题目上了。
那么言归正传，按照正常人的想法，旅行者确实没有带去新的信息啊？为什么会让原本相安无事的岛屿上的人全部自杀呢？
我们先做这样一个论断——
命题P：在这个岛上，如果有n个红眼睛的人，那么旅行者说过这句话后，在第n天的中午，n个红眼睛的人就会自杀。
下面，我们就用数学归纳法证明一下这个问题：
1、如果岛上只有一个人是红眼睛，那么旅行者说了这句话后，这个人立即就可以通过观察别人的眼睛颜色发现别人都是蓝眼睛，从而知道自己是红眼睛，于是这个人会在第一天中午自杀。n = 1时原命题P成立。
2、若原命题P在n=k时成立，那么当有k+1个红眼睛的人的时候，在第k天中午，所有人观察到没有人自杀，就知道岛屿上不止有k个红眼睛的人，而由于每个红眼睛的人此时都能看到k个红眼睛的人，因此他们可以确定自己也是红眼睛，于是在k+1天，所有红眼睛的人都会自杀。
由1、2可知，原命题P对所有范围内的自然数成立
如果对上述证明有点看不懂，我们也可以试试看用穷举法理解：
第一天，由于所有人都能看到大于等于4个红眼睛的人，因此，不会有人确信自己是红眼睛，因此无人自杀。
第二天，由于前一天没有人自杀，所有人都知道红眼睛不止一个，依旧不确定红眼睛的人数是否大于4，因此依旧无人自杀。
第三天，由于前一天还是没有人自杀，所以所有人都知道红眼睛肯定不止两个，因为如果只有两个人红眼睛，那么在第二天知道了红眼睛不止一个后就应当自杀。但是依旧不能确定红眼睛的人数是否大于4，依旧无人自杀。
第四天，同理，所有人都知道红眼睛肯定不止3个了，但依旧不能确定红眼睛人数是否大于4，依旧无人自杀。
第五天，由于前一天没人自杀，所以红眼睛肯定不止4个，此时红眼睛的人通过观察就知道，多出来的那一位是自己，于是第五天所有红眼睛的人都会自杀。
第六天，由于红眼睛全部自杀，所以剩下的人都知道自己是蓝眼睛了，因此在第六天全部自杀。
