很多问题都是无解的，但是数学家还在努力研究。
与其将这些经典问题视为吸引人在深海中翻滚的怪物，
把它想象成激发创造性思维的缪斯女神。
不可能的问题
我们总是说，“世上无难事”。在诺顿·贾斯特的小说《神奇收费亭》中，国王拒绝告诉米洛他的探险是不可能的，因为“只要你相信，很多事情都可以实现”。但是，有些事情在现实中确实是不可能的，这是可以用数学来证明的。
“不可能”有很多含义:可以形容“几乎不可能的事情”，比如两张扑克牌洗牌后，顺序仍然完全一样；也可以描述“一项由于时间、空或资源不足而几乎不可能完成的任务”，比如把国家图书馆的书全部抄完；也可以指“自然规律不允许存在的事物”，比如永动机，它的存在违反了物理原理。
但数学上的“不可能”与这些不同。我们不可能用确定的假设、数学的推理、严密的逻辑去证明某些结果。再多的运气、毅力、时间或技巧都无法改变这个事实。在数学史上，关于不可能的证明数不胜数，其中有很多是最著名的数学成果。然而，情况并非总是如此。
用不是“万能”的尺子画画
毕达哥拉斯的追随者希帕索斯可能是第一个证明“不可能”的人，他为此受到了严厉的惩罚。历史学家认为，在公元前5世纪，希帕索斯发现不可能用同一条线段首尾相连来测量一个正五边形的边长和对角线长度。边长为1，对角线长度为φ=(1+√5)/2的正五边形。今天，我们称这个数为“无理数”。希帕索斯的发现违背了毕达哥拉斯关于“一切都是数字”的信念。因此，据说他要么淹死在海里，要么被毕达哥拉斯学派开除。
一个多世纪后，欧几里得赋予了直线和圆“基本几何曲线”的地位。于是，一代又一代的几何学家在解决角平分线、画垂直平分线等问题时，开始只用圆规和直尺。一些看似简单的问题却让希腊几何学家无所适从，比如平分任意角，将立方体的体积翻倍，构造任意正多边形，构造与圆面积相等的正方形。这些问题最终达到了神话般的高度，困扰了数学家两千多年。
图1古题只用尺子画。你能画出下面的结构吗？
左上:将任意角度分成三份；右上:构造立方体的一边，使新立方体的体积是给定立方体的两倍；Bottom:构造一个正N多边形，其中N是大于2的任意整数；下图:画一个与给定圆面积相同的正方形。
虽然这些本质上是几何问题，但需要新的数学理论来证明它们是不可解的。
17世纪，笛卡尔有了一个根本性的发现:给定一条长度为1的线段，尺子作图只能构造出可以用整数和加减乘除平方根表示的长度，比如黄金分割数(1+√5)/2。
所以只要证明了一定长度不能用上面的形式写，也就证明了不能用尺子画。这就涉及到了代数，一个当时方兴未艾的领域。
两个世纪后的1837年，笛卡尔的同胞皮埃尔·范策尔用“多项式和多项式的根”的思想解决了这个经典问题。Vanzel证明了尺子画出的长度一定是2n阶多项式的根，即多项式中最高项的次数一定是2的幂。比如黄金分割比是多项式XX1的根，所以可以用尺子画出来。在立方体乘法问题中，边长为1的立方体体积加倍得到的立方体边长为3√2，这是多项式X3-2的根，仅用尺子画是画不出来的。
用类似的方法，他还证明了用尺子作图不可能把任何角分成三份，也不可能构造任何正多边形(如正七边形)。值得注意的是，这三个关于不可能的证明都出现在同一页。就像艾萨克·牛顿和阿尔伯特·爱因斯坦的“奇迹年”，我们也可以称之为“奇迹页”。
现在还有一个“摆正圆”的问题没有解决。这需要新的东西。1882年，林德曼得到了关键的结果。通过证明π是一个超越数——因此π不是任何多项式的根——林德曼证明了π不能用尺子作图来构造。所以“化圆为方”的尺子画也是不可能的。
七桥问题
我们来看一个后来的“不可能”问题，这个问题
1735年，普鲁士的一位市长问了欧拉同样的问题:哥尼斯堡有七座桥，连接着三个河岸和一个岛屿。你能把所有的桥都搭上而不重复吗？起初，欧拉拒绝了，“这个问题与数学无关。你凭什么指望数学家给你答案？”
但是，欧拉很快证明了这是不可能的，同时开辟了一个叫“位置的几何”的领域。现在我们称之为拓扑学。他意识到确切的细节(如桥的确切位置、土地的形状等。)并不重要，重要的是它们是如何连接的。后来的数学家用图论简化了欧拉的论证。这个“连接性”的概念是研究社交网络、互联网、流行病学、语言学、路线规划等问题的核心。
图2哥尼斯堡七座桥的问题欧拉除了不重要的细节，只留下了最基本的元素，证明不重复不遗漏的完成这座城市的七座桥是不可能的。后来，这种方法被表达为更抽象的“图形”。
欧拉的证明出奇的简单。他推论说，我们每次进出一块土地，都要经过两座桥，所以每块土地上的桥数一定是偶数。柯尼斯堡每个洲都有奇数座桥，所以这条路线不存在。同样，对于我们的自行车运动员来说，在匹兹堡阿勒格尼河上的三座桥上完成自行车比赛在数学上也是不可能的。
不仅仅是数学
“不可能”的证明不仅影响抽象数学，也影响现实生活，甚至政治领域。
最近，数学家们把注意力转向了不公正的选区划分。“格兰芬多”指的是美国的一种政治现象:每次人口普查后，每个州都必须重新划定自己的国会选区。执政党为了最大化自己的席位，最大化自己的政治权力，有时会把一个州的领土划分成非常奇怪的形状，比如一只张牙舞爪的蝾螈。
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许多州要求选区必须“紧凑”，这个术语起初没有固定的数学定义。1991年，Daniel Polsby和Robert Popper提出“紧致”的程度可以用4πA/P2来量化，其中A是面积，P是周长。圆形区域得1分，扭曲区域得0分。
2014年，尼古拉斯·斯特凡诺普洛斯(Nicholas stephanopoulos)和埃里克·麦基(Eric McGee)提出了另一个衡量重划选区政治公平性的指标:“效率差距”。一个政党为了最大限度地浪费对手党的选票，会有两种划分选区的策略:要么使对手党的选票刚好低于50%，要么使其尽可能接近100%。任何策略都会迫使其他党派把选票浪费在失去候选人或赢得不需要他们的候选人身上。。效率差距描述了被浪费的选票的相对价值。
以上两种方法都是检测格兰芬多的有效手段。但在2018年，鲍里斯·阿列克谢夫(Boris alekseev)和达斯汀·米克森(Dustin Mixon)证明了一个结论:“有时候，只有形状奇怪的区域才能有很小的效率差距。”也就是说，从数学上讲，所选区域的形状并不总是满足上述两个检测公平的条件。
然而，格兰芬多的问题已经成为一个活跃的学术领域，吸引了许多有才华的研究人员。就像尺子作图和七桥问题一样，这个问题一定会激发创造力，促进数学的发展。
作者:大卫·里奇森
翻译:xux
审校:丹尼斯
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