作者|民间数学家
上帝创造的数学公式
1743年，著名数学家欧拉在一篇公开发表的论文中首次得到如下结果。
(欧拉公式)EIT = cost+isint
其中e是自然常数，其值约为2.718；Cos和sin分别是余弦和正弦函数；I是虚数，满足I =-1。当t=π，cos π =-1，sin π = 0时，则上述公式变为
(欧拉公式)eiπ+1=0
第二个公式流传更广，五个最著名的数学常数都聚集在一个简短的公式中:
0，1，I(虚数)，π(圆周率)，E(自然对数)
所以第二个公式也被数学家称为“上帝创造的数学公式”。
第二，解构欧拉公式。
我们来看看欧拉公式中的五个常识。
0，1，I，π，e
和三个功能。
工厂交货价，成本，原价
0和1就不用说了，我在我们之前的文章《复数——几何直觉与代数运算的交响曲》中也讲得很透彻。ππ是单位圆(半径为1的圆)周长的一半。还有函数cost，sin t，它们分别代表单位圆周上(以原点为中心)逆时针偏离(1，0)点弧一个长距离t的点的横坐标和纵坐标，
当我们得到自然函数E和指数函数ex时，问题就出现了，
自然常数E为什么叫自然？
指数ex当x是一个有理数时，它可以由幂和根号来定义，
一般实数有必要用极限定义吗？
欧拉公式中，指数函数ex甚至取x的值为虚数，那么应该如何定义呢？
这些问题就是欧拉公式给很多人留下神秘印象的原因。要把欧拉公式和这么多问题解释清楚，应该选择从哪里入手？
第三，起点
我们选择的出发点是幂级数定义的函数E(x)。
在座的很多人可能要问:
为什么选择这个幂级数作为起点？
只有这样，才能最方便有效地理解欧拉公式。请拭目以待！
非常重要的是要注意，这个函数E(x)可以定义为所有复数x。
好了，接下来，从这个起点出发，我们将推导两个方程(微分方程，泛函方程)和一个共轭方程，这些都是我们理解欧拉公式必不可少的！
(函数方程)E(x)E(y)=E(x+y)
我们直接推导出这个函数方程:
请注意，二项式定理用于推导的最后一步。函数方程其实就是二项式定理的母函数表达式。换句话说，
函数和二项式定理是等价的。
(除了二项式定理，还有很多组合恒等式可以写成母函数。有兴趣的朋友可以自行探索。)
如果我们点菜的话，我们就言归正传吧
然后根据函数方程，
E(2)=E(1)E(1)=e2
E(3)=E(2)E(1)=e3
........
所以E(x)=ex对所有的整数x都成立。根据函数方程
E(1/3)E(1/3)E(1/3)= E(1/2)E(1/2)= E(1)= E
因为E(1/2)和E(1/3)都是正数，所以
E(1/2)=e1/2
E(1/3)=e1/3
可以进一步推导出E(x)=ex对于所有有理数和所有实数(取极限)都成立。所以E(x)是指数函数ex的推广。对于复数x，我们也把E(x)写成ex。例如，企业所得税是:
(微分方程)(ex )'=ex
你可以通过逐项微分得到这个微分方程:
相信很多人都知道E可以用复利来理解:
如果有人借你1万块钱当高利贷，年化利率100%，一年结清后你要还他2万。但如果他半年后结清，就是(1+1/2)万，那就借给你，半年后结清，就是(1+1/2)两万=两万两千五。如果每四个月结算一次，那一年后就是(1+1/3) 3万≈2.37万。如果把一年分成很多甚至无数个时间段，连续结算复利，最后的结果就是极限。
这个极限也是2.718左右。也就是说，最初的1万元，一年内连续复利，最后变成了27180元左右。
另一方面，当x从0到1连续变化时，函数ex的值从1增加到e，ex的微分方程表明，这种增长模式以自己的值作为每一时刻的增长率，与上述复利模式相同。所以我们从ex的微分方程可以直观的看到
e指的是单位时间内“自然增长”所获得的量，所以称为自然常数。这种自然生长模式在自然界中经常遇到，比如细菌和其他微生物的繁殖。
在讲函数ex的共轭方程之前，我们先来复习一下共轭复数的概念:
复数z=x+yi的共轭复数定义为z=x-yi，对应平面上关于x轴对称的两点。
很容易证明共轭、加法和乘法是可交换的:
两个共轭复数的乘积正好等于模的平方:
zz=|z|2
(共轭方程)
这个等式的推导也很简单:
共轭方程告诉我们，函数ex在一对共轭复数上的值也是互相共轭的。
四、揭开欧拉公式的神秘面纱
现在让我们重新审视欧拉公式。
(欧拉公式)EIT = cost+isint
这个公式的左边是定义在整个实数轴上的复值函数，即对于每个实数T，都有一个唯一的复eit。我们在《复数——几何直觉与代数运算的交响曲》一文中说过，复数对应的是平面上的点。所以如果我们把数轴看作一条时间直线，
Eit可以看作是一个粒子在平面上的运动。在t时刻，粒子的位置是eit。
但这个公式的右边也是定义在整个实数轴上的复值函数，也可以看作是一个质点在平面上的运动。如我们在第一节中所述，函数cost和sin t分别表示单位圆周上距离t为(1，0)点弧的点的横坐标和纵坐标(以原点为中心)，
也就是说，在时间t，质点在单位圆周上运动了长度为t的距离。换句话说，欧拉公式的右边代表质点逆时针匀速绕单位圆运动，速度为1。
所以我们要解释一下，欧拉公式左边的eit也代表质点逆时针匀速绕单位圆运动。先解释一下为什么函数eit的值总是落在单位圆上。根据ex的共轭方程
根据ex的函数方程
所以eit实际上代表了单位圆内质点的运动。你怎么解释这个运动是逆时针匀速的？我们可以看它的速度矢量，这是eit的导数函数。根据ex的微分方程，我们有
因此，每个时刻的速度矢量是顺时针旋转90度的位置矢量，
所以eit真正的意思是粒子逆时针匀速绕单位圆运动，速度也是1。
所以，既然左右函数代表相同的运动，欧拉公式自然成立。另外，在时间t=π时，质点刚好穿过半圆，到达点(-1，0)。那么欧拉公式就变成了
根据ex的函数方程，
使用欧拉公式，这个方程可以写成
你能看出这本质上是三角函数的和差积公式吗？事实上，在欧拉公式的背景下
ex的函数方程相当于三角函数的和、差、积公式！
四、欧拉公式下的高点观点
前面提到，欧拉公式可以看作是在单位圆上做匀速圆周运动。现在我们把欧拉公式和函数eit看成是实数轴到单位圆的函数或映射。
直观上，这种映射可以看成是一条线在绕圆。
其实实数轴和单位圆是最特殊的李群。先简单说明一下，首先实数有加法，单位0，加法的反减法，这些运算都可以看作二元光滑(无限可微)函数。这些性质通常构成了李群的定义。同样，所有模为1的复数(对应单位圆上的点)都有乘法运算，是可逆的，还有一个单位元1，也满足光滑条件，所以也是李群。
根据ex的函数方程，
所以函数eit把实数的加法转化为单位圆上的乘法，所以欧拉公式可以理解为两个李群之间的同态，这是李群同态最简单的例子。(所谓同态，就是一个李群到另一个李群的光滑映射，把单位元映射成单位元，把一个李群的运算变换成另一个李群的运算)
从拓扑学的角度看，欧拉公式表示的实数轴到单位圆的映射，实际上是单位圆的泛重叠映射。这个泛重叠映射说明了单位圆的基本群(一个拓扑不变量)是非平凡的，这个事实是代数基本定理拓扑证明的基石。
这种实数轴到单位圆的映射也可以从李代数的角度来理解。此时，实数轴表示单位圆在单位元处的切线空。
这种映射可以推广到任何李群和李代数，但我们只提一个简单的推广:行列式不为零的N阶方阵群(运算是矩阵乘法)，N阶方阵李代数。(注意单位圆上的复数可以看作一阶方阵)
此时的映射定义为:
N阶方阵→具有非零行列式的N阶方阵
注意这是指数函数ex的幂级数展开的直接延伸，这也是我们选择ex的幂级数作为起点的另一个原因！
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